Изворни код странице Аксиома упаривања

У [[аксиоматска теорија скупова|аксиоматској теорији скупова]] и областима [[логика|логике]], [[математика|математике]], и [[рачунарство|рачунарства]] које се њоме користе, '''аксиома упаривања''' је једна од [[аксиома]] [[Зермело-Френкел теорија скупова|Зермело-Френкел теорије скупова]].

== Формални исказ ==
У [[формални језик|формалном језику]] Зермело-Френкел аксиома, аксиома гласи:
:<math>\forall A \, \forall B \, \exist C \, \forall D \, [ D \in C \iff (D = A \lor D = B)]</math>
или написано речима:
:За било који дати [[скуп]] ''-{A}-'' и било који скуп ''-{B}-'', [[егзистенцијални квантификатор|постоји]] скуп ''-{C}-'', такав да, за било који дати скуп ''-{D}-'', ''-{D}-'' је члан ''-{C}-'' [[ако и само ако]] ''-{D}-'' је једнако ''-{A}-'' [[дисјункција|или]] ''-{D}-'' је једнако ''-{B}-''.

Или простије речено:
:За два дата скупа, постоји скуп чији су елементи управо два дата скупа.

== Интерпретација ==
Ова аксиома заправо каже да за два дата скупа ''-{A}-'' и ''-{B}-'', може да се нађе скуп ''-{C}-'', чији су елементи тачно ''-{A}-'' и ''-{B}-''.
Може да се користи [[аксиома екстензионалности]] да се покаже да је овај скуп ''-{C}-'' јединствен.
Скуп ''-{C}-'' се назива ''паром'' за ''-{A}-'' и ''-{B}-'', и означава се са {''-{A}-'', ''-{B}-''}.
Значи, суштина аксиоме је:
:Свака два скупа имају пар.
{''-{A}-'', ''-{A}-''} се скраћено записује као {''-{A}-''}, и назива се ''[[синглтон (математика)|синглтон]]'' који садржи ''-{A}-''.
Ваља уочити да је синглтон посебан случај пара.

Аксиома упаривања такође допушта дефиницију [[уређени пар|уређених парова]]. За свака два скупа <math>a</math> и <math>b</math>, уређени пар се дефинише на следећи начин:

:<math> (a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}.\,</math>

Ова дефиниција задовољава услов

:<math>(a, b) = (c, d) \iff a = c \land b = d. </math>

Уређена [[торка|''-{n}-''-торка]] може рекурзивно да се дефинише на следећи начин:

:<math> (a_1, \ldots, a_n) = ((a_1, \ldots, a_{n-1}), a_n).\!</math>

== Не-независност ==
Аксиома упаривања се генерално сматра неконтроверзном, и она или њен еквивалент се појављује у мање-више свакој алтернативној [[аксиоматизација|аксиоматској]] [[теорија скупова|теорији скупова]]. Па ипак, у стандардној формулацији [[Зермело-Френкел теорија скупова|Зермело-Френкел теорије скупова]], аксиома упаривања следи из [[шема аксиома замене|шеме аксиома замене]] примењене на било који дати скуп са два или више елемената, и стога се понекад изоставља. Постојање таквог скупа са два елемента, као што је { {}, { {} } }, може да се дедукује било из [[аксиома празног скупа|аксиоме празног скупа]] и [[аксиома партитивног скупа|аксиоме партитивног скупа]] или из [[аксиома бесконачности|аксиоме бесконачности]].

== Уопштење ==
Заједно са [[аксиома празног скупа|аксиомом празног скупа]], аксиома упаривања може да се уопшти у следећу шему:
:<math>\forall A_1 \, \ldots \, \forall A_n \, \exist C \, \forall D \, [D \in C \iff (D = A_1 \lor \cdots \lor D = A_n)]</math>
то јест:
:За било који дати [[коначан скуп|коначни]] број скупова -{''A''<sub>1</sub>}- до -{''A''<sub>''n''</sub>}-, постоји скуп ''-{C}-'' чији елементи су управо -{''A''<sub>1</sub>}- до -{''A''<sub>''n''</sub>}-.
Овај скуп ''-{C}-'' је такође јединствен по аксиоме екстензионалности, и означава се као {-{''A''<sub>1</sub>,...,''A''<sub>''n''</sub>}-}.

Наравно, није могуће ригорозно говорити о ''коначном'' броју скупова ако претходно није дефинисан (коначан) скуп коме поменути скупови припадају.

Стога ово није један исказ већ шема, са засебним исказом за сваки [[природан број]] ''-{n}-''.
* Случај ''-{n}-'' = 1 је аксиома упаривања за ''-{A}-'' = ''-{A}-''<sub>1</sub> и ''-{B}-'' = ''-{A}-''<sub>1</sub>.
* Случај ''-{n}-'' = 2 је аксиома упаривања за ''-{A}-'' = ''-{A}-''<sub>1</sub> и ''-{B}-'' = ''A''<sub>2</sub>.
* Случајеви ''-{n}-'' > 2 могу да се докажу узастопним коришћењем аксиоме упаривања и [[аксиома уније|аксиоме уније]].
На пример, како би се доказао случај ''-{n}-'' = 3, користи се аксиома упаривања три пута да се произведе пар {''-{A}-''<sub>1</sub>, ''-{A}-''<sub>2</sub>}, синглтон {''-{A}-''<sub>3</sub>}, а затим пар {{''-{A}-''<sub>1</sub>,''-{A}-''<sub>2</sub>},{''-{A}-''<sub>3</sub>}}.
Аксиома уније затим производи жељени резултат, {''-{A}-''<sub>1</sub>,''-{A}-''<sub>2</sub>,''-{A}-''<sub>3</sub>}. Ова шема може да се прошири да укључује ''-{n}-'' = 0 ако се тај случај интерпретира као [[аксиома празног скупа]].

Стога, ова аксиома може да се користи као шема аксиома уместо аксиоме празног скупа и аксиоме упаривања. Међутим, уобичајено је да се аксиома празног скупа и аксиома упаривања користе засебно, а затим да се докаже ово уопштење као шема теорема. Његово усвајање као шеме аксиома не би заменило [[аксиома уније|аксиому уније]], која би и даље била потребна за друге ситуације.

== Још једна алтернатива ==
Још једна аксиома која имплицира аксиому упаривања у присуству [[аксиома празног скупа|аксиоме празног скупа]] гласи:
:<math>\forall A \, \forall B \, \exist C \, \forall D \, [D \in C \iff (D \in A \lor D = B)]</math>.
Узимањем {} за ''-{A}-'' а ''-{x}-'' за -{B}-, добија се {''-{x}-''} за -{C}-. Затим се узма {''-{x}-''} за ''-{A}-'' а ''-{y}-'' за ''-{B}-'', што даје {''-{x, y}-''} за -{C}-. Може да се настави са овим и да се изгради било који коначан скуп. И ово може да се користи да се генеришу сви [[наследно коначни скуп]]ови без коришћења аксиоме избора.

== Литература ==
* -{Paul Halmos, ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 978-0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition)}-.
* -{Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''. Springer. ISBN 978-3-540-44085-7}-.
* -{Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier. ISBN 978-0-444-86839-8}-.

[[Категорија:Аксиоме теорије скупова]]

[[de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Die Axiome von ZF und ZFC]]