Изворни код странице Борел-Лебегова лема

Поред назива '''Борел-Лебегова лема/теорема''', алтернативни назив који се користи је и '''Хајне-Борелова теорема'''. Лема носи назив по француским математичарима [[Емил Борел|Емилу Борелу]] и [[Хенри Лебег|Хенрију Лебегу]], односно [[Едуард Хајне|Едварду Хајнеу]].

У специјалном случају, лема описује једно важно својство одсечака реалне праве, док у општем смислу подразумева својство [[компактност]]и [[метрички простор|метричких простора]].

== Дефиниција ==

'''Борел-Лебегова лема''': Из сваког [[покривач (математика)|покривача]] отвореним интервалима, одсечка реалне праве <math> [a, b] </math>, може се издвојити коначан [[покривач (математика)|потпокривач]].

== Доказ ==

Означимо са <math> X </math> скуп свих оних тачака <math> x </math> за које важи да се одсечак <math> [a,x] </math> може покрити коначним бројем [[интервал (математика)|отворених интервала]]. Тај скуп <math>X</math> очигледно није празан, јер му припада најпре тачка <math> a </math> која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка <math> b </math> припада скупу <math> X </math>. 


Пошто скуп <math> X </math> није празан и ограничен је одозго, он мора имати [[инфимум и супремум|супремум]]. Нека је <math> y </math> његов супремум. Ако претпостављамо да тачка <math>b</math> не припада том скупу, онда је <math> x \leq y \leq b </math>, те и <math> y </math> припада одсечку <math>[a, b]</math>, па као и свака тачка тог сегмента, и <math> y </math> припада неком отвореном интервалу <math>(\alpha, \beta)</math>. Тада за неко <math> x </math> важи: <math> \alpha \leq x \leq y </math>, јер би иначе то <math> x </math> било супремум скупа <math>X</math>.


Интервал <math> (\alpha, \beta)</math> можемо придружити скупу <math> X </math>, зато што је могуће и одсечак <math> [a,y] </math> прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било <math> y \neq b </math>, тада би се између <math> y </math> и <math> b </math> нашло још чланова скупа <math>X</math> због отворености интервала <math>(\alpha, \beta)</math>, што је у супротности са тиме да је <math> y </math> супремум скупа <math>X</math>. Због тога, и <math> b </math> припада скупу <math> X </math>, чиме смо доказали да се одсечак <math>[a, b]</math> може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

== Види још ==
* [[Компактност]]
* [[Болцано-Вајерштрасова теорема]]
* [[Покривач (математика)|Покривач]]

== Литература ==
* Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

[[Категорија:Топологија]]