Изворни код странице Лапласов оператор

'''Лапласов оператор''', у [[математика|математици]], је [[елиптички оператор|елиптички]] [[диференцијални оператор]] другог реда. Има бројне примене широм математике, те у [[физика|физици]], [[електростатика|електростатици]], [[квантна механика|квантној механици]], [[обрада снимака|обради снимака]], итд. Назван је по француском математичару [[Пјер Симон Лаплас|Пјеру Симону Лапласу]].

Имајући у виду појмове [[Дивергенција|дивергенције]] и [[gradijent|градијента]], за дату скаларну функцију <math>u = u(x, y, z)</math>, биће:
:<math>div\,grad\,u = (\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial y^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial z^2})</math>,

што се може написати као:
:<math>div\,grad\,u = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2})u</math>.

Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију <math>u</math>, представља Лапласов оператор и обележава се са ''делта'' - &Delta;:
:<math>\Delta = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2})</math>.

Користећи [[оператор набла]], тај израз можемо записати као:
: <math> \nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) \;. </math>

== Координатни изрази ==
У једнодимензионалном и дводимензионалном [[Декартов координатни систем|Декартовом координатном систему]] Лапласов оператор је:

: <math> \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \;, \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \;. </math>

У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :

: <math> \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } \;. 
</math>

У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:

: <math> \nabla^2 t 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left(r {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 t \over \partial z^2 } 
</math>

У тродимензионалном сферном координатном систему је :

: <math> \nabla^2 t 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left(r^2 {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left(\sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}
</math>

У Еуклидском простору <math>{\mathbb R}^n</math> Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као
:<math>\Delta_n=\nabla_n^2=\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}</math>.

Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:
: <math>\nabla^2  f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math>
: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math>
: где су <math>H_i\ </math> [[Ламеови коефицијенти]].
У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором <math>g_{ij}</math> Лапласијан је дан са:
:<math> \nabla^2  f = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k})</math>
а метрика простора дефинисана је са:
: <math>ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j</math> .

== Својства ==
Лапласов оператор је линеаран:

: <math> \nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \;. </math>

Такође важи :

: <math>\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \;. </math>

== Уопштења ==
Лапласов оператор се може уопштити на више начина. [[Д'Аламберов оператор|Даламберов оператор]] је дефинисан на [[простор Минковског|простору Минковског]]. [[Лаплас-Белтрамијев оператор]] је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој [[Риманова многострукост|Римановој многострукости]]. [[Лаплас-де Рамов оператор]] дејствује на просторима [[диференцијална форма|диференцијалних форми]] на псеудо-Римановим површима.

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Анализа више променљивих]]
[[Категорија:Диференцијална геометрија]]
[[Категорија:Математичка физика]]
[[Категорија:Диференцијални оператори]]
[[Категорија:Калкулус више промјенљивих]]
[[Категорија:Фуријеова анализа]]