Изворни код странице Таласна једначина

[[Датотека:Wave equation 1D fixed endpoints.gif|оквир|Имплус који се простире кроз жицу са фиксираним крајевима моделован преко таласне једначине]]
'''Таласна једначина''' је важна парцијална [[диференцијална једначина]] којом се описује простирање [[талас]]а. Таласи могу бити звучни, елетромагнетни, водени итд., али се сви простиру на истом принципу сажетом у таласну једначину. Таласна једначина се јавља и користи у акустици, [[електромагнетизам|електромагнетизму]], [[оптика|оптици]], динамици флуида. Најзначајнији допринос решењу проблема описивања осцилација и простирања таласа дали су [[Жан ле Рон д'Аламбер|Жан дАламбер]], [[Леонард Ојлер]], [[Данијел Бернули]] и [[Жозеф Луј Лагранж|Жозе-Луј Лагранж]].

== Увод ==
Таласна једначина је типични пример хиперболичне парцијалне диференцијалне једначине. У најједноставнијем облику, таласна једначина се односи на скаларну величину ''u'' која задовољава:

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u, </math>

где је '''c''' (константна) брзина таласа а <math>\Delta = \nabla^2</math> је [[Лапласов оператор|Лапласијан]]. За звучне таласе у ваздуху на 20&nbsp;°C износи око 343 m/s (видети [[брзина звука]]). За осцилујућу жицу брзина може да се мења у великом опсегу јер зависи од линеарне густине жице и њене затегнутости. Много реалистичнији модел једначине таласа узима у обзир [[Дисперзија (физика)|дисперзију]], тј, зависност брзине таласа од његове фреквенције. Тада се ''c'' замењује [[фазна брзина|фазном брзином]]:
:<math>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.</math>

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u </math>
:<math>\rho{ \ddot{\mathbf{u}}} = \mathbf{f} + (\lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})</math>

== Скаларна таласна једначина у једној просторној димензији ==
=== Извођење таласне једначине ===
Таласна једначина у једнодимензионалном случају можемо да изведемо на следећи начин: Замислимо низ малих тегова, сваки масе ''m'', повезаних опругама од којих свака има дужину ''h'' и коефицијент еластичности ''k'':
:[[Датотека:Array of masses.svg]]

Овде ''u(x)'' представља отклон од равнотежног положаја мале масе на координати ''x''. Силе које делују на масу <math>m</math> на положају <math>x+h</math> су:
:<math>F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}</math>

:<math>F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]</math>

Једначина кретања материјалне тачке на локацији ''x+h'' је:

:<math>m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]</math> 

где је временска зависност ''u''(''x'') дата експлицитно.

Ако се низ тегова састоји од ''N'' тегова равномерно распоређених на дужини ''L'' = ''N'' ''h'' тада је укупна маса ''M'' = ''N'' ''m'', и укупни коефицијент еластичности низа ''K'' = ''k''/''N'' па горњу једначину можемо да напишемо као:

:<math>{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}</math>

Израчунавањем лимеса <math>N\rightarrow \infty,h\rightarrow 0</math> (подразумевањем униформности) налазимо:

:<math> {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }  </math>

где је (''KL<sup>2</sup>)''/''M'' квадрат брзине којом се деформација простире дуж низа.

=== Решење проблема почетних вредности ===

Опште решење једнодимензионалне скаларне таласне једначине је

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math>

извео је [[Жан Даламбер|Даламбер]]. У факторском облику таласна једначин аможе да се напише као

:<math> \left[ \frac{\partial}{\partial t} - c\frac{\partial}{\partial x}\right] \left[ \frac{\partial}{\partial t} + c\frac{\partial}{\partial x}\right] u = 0.\,</math> 

Ако су ''F'' и ''G'' произвољне функције следи да сваки збир облика 

:<math>u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) \,</math> 

задовољава таласну једначину. Два члана представљају два таласа у покрету: деформација дата аргументом ''F'' или ''G'' креће се брзином ''c'' у смеру напред (за ''F'') и назад (за ''G''). Ове функције могу ближе да се одреде на основу произвољних почетних услова:

:<math>u(x,0)=f(x) \,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x) \,</math>

Резултат је [[Даламберова формула]]: 

:<math>u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds</math>

== Скаларна таласна једначина у три просторне димензије ==
Решење тродимензионалног проблема почетних вредности може да се добије из решења једначине за сферне таласе. Тај резултат онда може да се сведе на дводимензионални случај.

=== Сферни таласи ===
Скаларна таласна једначина остаје неизмењена при ротацији просторних координата и стога може да се очекује да постоји решење које зависи само од радијалног растојања од одабране тачке. Такво решење мора да задовољи

:<math> u_{tt} - c^2 \left(u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,</math> 

Ова једначина може да се напише и као

:<math> (ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,</math> 

величина ''ru'' задовољава једнодимензионалну таласну једначину Стога, постоје решења у облику 

:<math> u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,</math> 

где су ''F'' и ''G'' произвољне функције. Сваки члан може да се тумачи као сферни талас који се шири или скупља (контрахује) брзином ''c''. Такве таласе ствара тачкасти извор.

=== Решење општег проблема почетних вредности ===
Таласна једначина је линеарна по ''u'' и остаје неизмењена при транслацији у простору и времену. Стога, можемо да генеришемо велики број решења транлацијом и сумирањем сферичних таласа. Нека је φ(ξ,η,ζ) произвољна функција три независне променљиве, и нека је сферични талас ''F'' делта функција: тојест, нека је ''F'' слаба граница континуалне функције чији је интеграл једнак јединици, а чији опсег где је функција већа од нуле скупљен у координатни почетак. Нека фамилија сферних таласа сгерних таласа има центар у тачки (ξ,η,ζ) и нека је ''r'' радијално растојање од те тачке. Тада је

:<math> r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,</math> 

Ако је ''u'' суперпозиција таквих таласа са тежинском функцијом φ, добијамо

:<math> u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,</math> 

где је именилац 4πc уведен због погодности. 

Користећи дефиницију делта функције, ''u'' може исто да се представи као

:<math> u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,</math> 

где су α, β, и γ координате на јединичној сфери ''S'', а ω елемент површине на сфери ''S''. Овај резултат може да се тумачи као да је ''u''(''t'',''x'') средња вредност функције φ поможена са ''t'' на сфери радијуса ''ct'' центрираној на ''x'':

:<math> u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,</math> 

Следи да је 

:<math> u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,</math> 

Средња вредност је парна функција од ''t'', и стога ако је 

:<math> v(t,x,y,z) = \frac{\partial}{\partial t} \left(t M_{ct}[\psi] \right), \,</math> 

тада је

:<math> v(0,x,y,z) =  \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,</math> 

Ове формуле дају решење за проблем почетних вредности таласне једначине. Оне показују да решење у датој тачки ''Р'', за дато (''t'',''x'',''y'',''z'') зависи само од података на сфери радијуса ''ct'' пресеченој '''светлосним конусом''' нацртаним уназад из тачке ''Р''. Решење не зависи од података унутар те сфере.

== Скаларна таласна једначина у две просторне димензије ==
У две просторне димензије, таласна једначина је облика


:<math> u_{tt} = c^2 \left(u_{xx} + u_{yy} \right). \,</math> 


Овај проблем можемо да решимо на основу тродимензионалног решења ако сматрамо да је ''u'' решење у три димензије које је независно од треће димензије. Ако је 

:<math> u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,</math>

тада формула за тродимензионално решење постаје 

:<math> u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,</math> 

где су α и β прве две координате јединичне сфере, а dω елемент површине сфере. Овај интеграл може да се напише као интеграл по диску ''D'' са центром у (''x'',''y'') и радијусом ''ct'':

:<math> u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,</math> 

Очигледно је да решење на (''t'',''x'',''y'') зависи не само од података на светлосном конусу где је 

:<math> (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,</math> 

него исто и од података унутар тог конуса.

== Проблем с границама ==
=== Једна просторна димензија ===
:<math> -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,</math> 

:<math> u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,</math> 

:<math> u(t,x) = T(t) v(x).\,</math> 

:<math> \frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,</math> 

:<math> v'' + \lambda v=0, \,</math> 

:<math> -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,</math> 

=== Неколико просторних димензија ===
:<math> \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,</math> 
:<math> u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,</math> 
:<math> \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,</math> 

у ''D'', и

:<math>  \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,</math> 

на ''B''.

== Нехомогена таласна једначина у једној димензији ==
:<math>u(x,0)=f(x)\,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x).\,</math>
:<math>\int \int_{R_C} \left (c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right) dx dt = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.</math>

:<math>\int_{L_1} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) \,</math>
:: <math>= \int_{L_1} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\, </math>
::<math>= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,</math>

:<math>\int_{L_2} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) </math>
::<math>= - \int_{L_2} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right) </math>
:: <math>= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left (c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right) </math>
:: <math>= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,</math>

:<math>- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left (t_i - t \right )}_{x_i - c \left (t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,</math>

== Други координатни системи ==

== Види још ==
* [[Хелмхолцова једначина]]
* [[Једначина звучних таласа]]
* [[Једначина електромагнетних таласа]]
* [[Нехомогена једначина електромагнетних таласа]]
* [[Доплеров ефекат]]
* [[Šredingerova jednačina|Шредингерова једначина]]
* Математички аспект таласне једначине је дискутован на [https://web.archive.org/web/20110116084219/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Дисперзивне парцијалне диференцијалне једначине Wiki].

== Литература ==
* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", ''Acta Math.'', '''124''' (1970), 109–189. 
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", ''Acta Math.'', '''131''' (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, ''Methods of Mathematical Physics, vol II''. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/wave-toc.pdf Linear Wave Equations]", ''EqWorld: The World of Mathematical Equations.''
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc2.pdf Nonlinear Wave Equations]", ''EqWorld: The World of Mathematical Equations.''
* William C. Lane, "[https://web.archive.org/web/20060221232740/http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m201.pdf <small>MISN-0-201</small> The Wave Equation and Its Solutions]", ''[http://www.physnet.org Project PHYSNET]''.

[[Категорија:Једначине]]
[[Категорија:Таласи]]
[[Категорија:Фундаментални концепти физике]]
[[Категорија:Таласна механика]]