Изворни код странице Теорема Банаха-Алаоглу

{{Без извора}}
'''Теорема Банаха-Алаоглу''' је важно тврђење у [[функционална анализа|функционалној анализи]], области [[математика|математике]]. Теорема тврди да је затворена јединична [[лопта (математика)|лопта]] у [[дуални простор|дуалном простору]] [[норминарни векторски простор|нормираног векторског простора]] [[компактност|компактна]] у [[слаба топологија|слабој* топологији]]. У уобичајеном доказу, јединична лопта у слабој* топологији се препознаје као [[затворен скуп|затворен]] подскуп производа компактних скупова са [[топологија производа|топологијом производа]]. Према [[Теорема Тихонова|теореми Тихонова]], производ је компактан, а стога и јединична лопта.

[[Стефан Банах]] је [[1932]]. објавио доказ ове теореме за [[сепарабилност|сепарабилне]] нормиране векторске просторе; први доказ у општем случају објавио је [[1940]]. [[Турска|турски]] математичар [[Леонидас Алаоглу]].

Теорему Банаха-Алаоуглу су на произвољне [[тополошки векторски простор|тополошке векторске просторе]] уопштили [[Николас Бурбаки|Бурбаки]]. Ово уопштење (које се понекад назива и теоремом Бурбаки-Алаоглу) гласи
:Нека је ''X'' тополошки векторски простор и ''X''* његов (непрекидни) дуални простор. Тада је [[полара (функционална анализа)|полара]] ''U''<sup>o</sup> ма које [[околина (математика)|околине]] ''U'' у ''X'' компактна у слабој* топологији &sigma;(''X''*,''X'') на ''X''*.

{{Сакриј|Доказ|
Према дефиницији поларе,
:<math>U^{\circ}=\{\ell\in X^{\star}:|\ell x|\leq 1\,(\forall x\in U)\}</math>.
Како је свака околина у ''X'' гутајућа (према непрекидности множења скаларима), за свако ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''X'' можемо наћи позитивно &gamma;(''x'') тако да је <math>x\in\gamma(x)U</math>. Посебно је <math>|\ell x|\leq\gamma(x)</math> за све <math>x\in X</math>, <math>\ell\in U^{\circ}</math>. Посматрајмо простор
:<math>P=\prod_{x\in X}\{\alpha\in{\mathbb C}:|\alpha|\leq\gamma(x)\}=\{f:X\to{\mathbb C}:|f(x)|\leq\gamma(x)\,(\forall x\in X)\}</math>
са топологијом производа &sigma;. Према теореми Тихонова, (''P'',&sigma;) је компактан простор.

Слаба* топологија и топологија наслеђена од &sigma; се поклапају на ''U''<sup>o</sup>. Преостаје да се докаже да је ''U''<sup>o</sup>&nbsp;&sub;&nbsp;''P''&nbsp;&cap;&nbsp;''X''* затворен подскуп у топологији &sigma;.

Нека је ''f'' функција у затворењу скупа ''U''<sup>o</sup>, и узмимо произвољне ''x'', ''y''&nbsp;&isin;&nbsp;''X'', скаларе ''a'' и ''b'' и &epsilon;&nbsp;>&nbsp;0. Како је скуп
:<math>P_{f,\epsilon}::=\{p\in P:|p(ax+by)-f(ax+by)|<\epsilon,\,|p(x)-f(x)|<\epsilon,\,|p(y)-f(y)|<\epsilon\}</math>
отворен у ''P'' по дефиницији топологије производа, можемо изабрати неко <math>\ell\in U^{\circ}\cap P_{f,\epsilon}</math>. Стога је према неједнакости троугла
:<math>|f(ax+by)-af(x)-bf(y)|\leq |\ell(ax+by)-a\ell(x)-b\ell(y)|+|\ell(ax+by)-f(ax+by)|\,</math>
:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>+|a||\ell(x)-f(x)|+|b||\ell(y)-f(y)|<(1+|a|+|b|)\epsilon\,</math>.
Како је &epsilon;&nbsp;>&nbsp;0 произвољно, следи да је ''f'' линеарно пресликавање. Слично се доказује и да је ''f'' непрекидно: ако је наиме ''y''&nbsp;&minus;&nbsp;''x''&nbsp;&isin;&nbsp;&epsilon;''U'', тада је
:<math>|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-\ell(x)|+|f(y)-\ell(y)|+|\ell(x)-\ell(y)|<3\epsilon.</math>
Напокон, ''f''&nbsp;&isin;&nbsp;''U''<sup>o</sup> јер је <math>|f(x)|\leq|\ell(x)|+\epsilon\leq 1+\epsilon</math> за све ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''U'', дакле и &#124;f(''x'')&#124;&nbsp;&le;&nbsp;1.
}}

[[Категорија:Функционална анализа]]
[[Категорија:Математичке теореме]]