Изворни код странице Хелмхолцова једначина

'''Хелмхолцова једначина''' је елиптична парцијална диференцијална једначина:
: <math> (\Delta + k^2)U=0 </math>
где <math>\Delta = \nabla^2</math> представља [[Лапласов оператор]], <math>k</math> је таласни број, а <math>U</math> амплитуда.
Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:
: <math> (\Delta + k^2)U=f </math>
== Извод ==
Може се приметити да у [[Херман фон Хелмхолц|Хелмхолцовој]] једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из [[Таласна једначина|таласне једначине]]:
:<math>\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0.</math> (1)

Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:
:<math>u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t). </math> (2)
Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2  }. </math> (3)
Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = -k^2   </math> (4)
и
:<math> {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2  } = -k^2  </math> (5)

Преуређујући једначину (4) добијамо:
:<math>\nabla^2 A + k^2 A  =  (\nabla^2 + k^2)  A  =  0.  </math> (6)
а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције <math> \omega  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  kc </math> добија се:

:<math>\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T  =  \left({ d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T  =  0,</math>
При томе ''-{k}-'' је таласни вектор, а ''ω'' је угаона фреквенција.

== Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивих ==
За Хелмхолцову једначину:
:<math> (\nabla^2 + k^2 ) A = 0 </math> (7)
[[Лапласов оператор|Лапласијан]] се у [[поларни координатни систем|поларним координатама]] пише као:
:<math>\begin{align}
 \Delta  A  
&= {1 \over r} {\partial \over \partial  A }
  \left(r {\partial  A  \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2}
&= {1 \over r} {\partial  A  \over \partial r} 
+ {\partial^2  A  \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2}
.
\end{align} 
</math>

Због тога једначина (7) постаје:
:<math>{1 \over r} {\partial  A  \over \partial r} 
+ {\partial^2  A  \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2  A  \over \partial \phi^2} +(k^2 ) A = 0  </math> (8)

Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:
:<math> A(r,\theta) =  R(r)\Theta(\theta), \,</math>
гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

:<math> \Theta'' +n^2 \Theta =0, \,  </math> (9)

и
:<math> r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \,  </math> (10)
Решења од (9) и (10) су:
:<math> \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,</math>

:<math> R(r) = \gamma J_n(\rho), \,</math>
где је <math> J_n(\rho)</math> [[Беселова функција]], која је решење Беселове једначине:

:<math> \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0, </math>
=== Тродимензионално решење у сферним координатама ===
У [[сферни координатни систем|сферним координатама]] опште решење Хелмхолцове једначине је:
: <math> A (r, \theta, \varphi)= \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell (a_{\ell m} j_\ell (k r ) + b_{\ell m} y_\ell (k r ) ) Y ^ m_\ell ({ \theta,\varphi} ) .</math>
где су
<math> j_\ell (k r  ) </math> и <math> y_\ell (k r )</math> [[сферна Беселова функција|сферне Беселове функције]], а :<math> Y^m_\ell ({\theta,\varphi} )</math> представља [[Сферни хармоници|сферне хармонике]].
== Нехомогена Хелмхолцова једначина ==
Нехомогена Хелмхолцова једначина:
: <math> (\Delta + k^2)U=f </math>
рјешава се уз помоћ [[Гринова функција|Гринове функције]], односно:
: <math>\nabla^2 G(x) + k^2 G(x) = \delta(x) . \, </math>
Пошто је:
: <math>
(\triangle +k^2)\frac{1}{|x|}e^{ik|x|}
=e^{ik|x|}\triangle\frac{1}{|x|}+2\left (\operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}{|x|}\right )+\frac{1}{|x|}\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}e^{ik|x|}=</math>
<p align="left"><math>
=-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left (-\frac{2ik}{|x|^2}+\frac{2ik}{|x|^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|}\right )e^{ik|x|}=-4\pi\delta(x).
</math></p>
онда је тродимензионална Гринова функција:
: <math>
G_1(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|}, \qquad G_2=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}.
</math>
Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:
:<math>\left(\Delta+k^2\right)G(\vec{r},\vec{r}')=\delta(\vec{r}-\vec{r}')</math>
а Гринова функција као:
:<math>
G(\vec{r},\vec{r}')=-\frac{\exp(\pm i k |\vec{r}-\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}
</math>
Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као:
<math>
U(\vec{r})=\int d^3r'\, f(\vec{r}')G(\vec{r},\vec{r}')=-\int d^3r'\,f(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i k |\vec{r}-\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}
</math>

== Литература ==
* -{Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill.}-
* -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. {{page1|location= New York|publisher=Dover|year=1965|isbn=978-0-486-61272-0|pages=}}}-
* -{Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. {{page1|location=New York|publisher=McGraw-Hill|year=1953|isbn=978-0-07-043316-8|pages=}}}-
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde303.pdf Хелмхолцове једначине]

[[Категорија:Диференцијалне једначине]]
[[Категорија:Херман фон Хелмхолц]]
[[Категорија:Таласи]]